В хаосе есть порядок: в основе случайности лежит некая геометрическая структура. Хаос налагает принципиальные ограничения на возможность прогнозирования, но в то же время предполагает причинные связи там, где раньше их никто не подозревал
ДЖЕЙМС П. КРАТЧФИЛД, ДЖ. ДОЙН ФАРМЕР,
НОРМАН X. ПАККАРД, РОБЕРТ С. ШОУ
Огромная сила науки заключена в её способности устанавливать связь между причиной и следствием. Например, законы гравитации позволяют предсказывать затмения на тысячи лет вперёд. Другие явления природы не поддаются столь точному предсказанию. Течения в атмосфере так же строго подчиняются физическим законам, как и движения планет, тем не менее прогнозы погоды всё ещё имеют вероятностный характер. И погода, и течение горной реки, и движение брошенной игральной кости имеют в своём поведении непредсказуемые аспекты. Так как в этих явлениях не видно чёткой связи между причиной и следствием, говорят, что в них присутствует элемент случайности. Однако до недавнего времени было мало оснований сомневаться в том, что в принципе можно достичь точной предсказуемости. Считалось, что для этого необходимо только собрать и обработать достаточное количество информации.
Такую точку зрения круто изменило поразительное открытие: простые детерминированные системы с малым числом компонент могут порождать случайное поведение, причём эта случайность имеет принципиальный характер — от неё нельзя избавиться, собирая больше информации. Порождаемую таким способом случайность стали называть хаосом.
Кажущийся парадокс состоит в том, что хаос детерминирован — порождён определёнными правилами, которые сами по себе не включают никаких элементов случайности. В принципе будущее полностью определено прошлым, однако на практике малые неопределённости растут и поэтому поведение, допускающее краткосрочный прогноз, на долгий срок непредсказуемо. Таким образом, в хаосе есть порядок: в основе хаотического поведения лежат изящные геометрические структуры, которые создают случайность таким же способом, как создает её сдающий карты, тасуя колоду, или миксер, размешивая тесто для бисквита.
Открытие хаоса породило новый образец научного моделирования. С одной стороны, оно ввело новые принципиальные ограничения на возможность предсказаний. С другой стороны, заложенный в хаосе детерминизм показал, что многие случайные явления более предсказуемы, чем считалось раньше. Собранная в прошлом информация, казавшаяся случайной и отправленная на полку как слишком сложная, теперь получила объяснение при помощи простых законов. Хаос позволяет находить порядок в столь различных системах, как атмосфера, подтекающий водопроводный кран или сердце. Это революционное открытие затронуло многие области науки.
Каковы источники случайного поведения? Классическим примером служит броуновское движение. Рассматриваемая в микроскоп пылинка совершает свой безостановочный и беспорядочный танец под действием теплового движения окружающих её молекул воды. Поскольку молекулы воды невидимы, а число их огромно, точное движение пылинки совершенно непредсказуемо. Таким образом, паутина причинных воздействий одних частей системы на другие может стать настолько запутанной, что окончательная картина поведения будет совсем случайной.
Хаос, о котором речь пойдёт в статье, не связан ни с большим числом компонент, ни с их невидимыми воздействиями. Наличие случайного поведения в очень простых системах заставляет по-новому взглянуть и на такие большие системы, как атмосфера.
Почему предвидеть течения в атмосфере намного труднее, чем движения в Солнечной системе? И та, и другая составлены из многих частей, и обе подчиняются второму закону Ньютона F = ma, который можно рассматривать как простое предписание для предсказания будущего. Если действующие на массу m силы F известны, то известно и ускорение a. Тогда получается, что, как только положение и скорость какого-то объекта измерены в некоторый заданный момент, они однозначно определены навсегда. Идея оказалась настолько сильнодействующей, что французский математик XVIII века Пьер Симон Лаплас однажды заявил, что, если бы для каждой частицы во Вселенной были заданы положение и скорость, он мог бы предсказать будущее на всё остальное время. И хотя на пути к достижению этой поставленной Лапласом цели есть очевидные практические трудности, более ста лет как будто не было никаких причин сомневаться в том, что по крайней мере в принципе Лаплас прав. Буквальное распространение этого заявления Лапласа на социальные явления привело к философскому выводу о полной предопределённости поведения людей: свободной воли не существует.
Наука XX века покончила с лапласовым детерминизмом. Первый удар ему нанесла квантовая механика. Одно из главных положений этой теории — открытый Гейзенбергом принцип неопределённости, который утверждает, что одновременно положение и скорость частицы не могут быть точно измерены. Принцип неопределённости хорошо объясняет, почему некоторые случайные явления, такие, как радиоактивный распад, не подчиняются лапласову детерминизму. Ядро настолько мало, что вступает в силу принцип неопределённости, и точно знать происходящие в ядре процессы принципиально невозможно, а потому, сколько бы ни было собрано о нём информации, нельзя точно предсказать, когда оно распадётся.
Однако источник непредсказуемости для крупномасштабных систем следует искать в другом. Одни крупномасштабные явления предсказуемы, другие — нет, и квантовая механика тут ни при чём. Например, траектория бейсбольного мяча в принципе предсказуема, и каждый игрок интуитивно пользуется этим всякий раз, когда ловит мяч. Напротив, траектория воздушного шара, когда из него вырывается воздух, непредсказуема: он кренится и беспорядочно вертится в какие-то моменты и в каких-то местах, которые нельзя предвидеть. Но ведь этот воздушный шар подчиняется тем же законам Ньютона, что и бейсбольный мяч; почему же прогнозировать его поведение труднее?
Классический пример подобного двоякого поведения даёт течение жидкости. При одних обстоятельствах оно является ламинарным — ровным, устойчивым, регулярным — и легко предсказывается при помощи уравнений. При других обстоятельствах течение становится турбулентным — неровным, неустойчивым, нерегулярным — и трудно предсказуемым. Переход от ламинарного поведения к турбулентному знаком каждому, кто хоть раз летел в самолёте в спокойную погоду и затем внезапно попадал в грозу. Чем объяснить существенную разницу между ламинарным и турбулентным течением?
Чтобы лучше понять, в чём тут загадка, допустим, что мы решили посидеть у горного ручья. Вода кружится в водоворотах и плещется так, будто по собственной воле бросается то туда, то сюда. Но ведь камни в русле ручья прочно лежат на месте, а приток воды почти одинаков. Чем же вызван случайный характер её движения?
Советский физик Л. Д. Ландау в своё время предложил объяснение случайного движения жидкости, которое господствовало много лет. Оно состояло в том, что в турбулентном течении возникает много различных независимых колебаний (вихрей). При увеличении скорости течение станет ещё более турбулентным и постепенно, по одной, будут прибавляться новые частоты. Хотя каждое отдельное колебание может быть простым, их сложное сочетание приводит к движению, которое невозможно предсказать.
Однако по поводу теории Ландау возникли сомнения. Случайное поведение проявляют даже системы, не отличающиеся ни особой сложностью, ни неопределённостью. Ещё на рубеже века это осознал французский математик Анри Пуанкаре, отметив, что непредсказуемые, возникающие «по воле случая» явления присущи скорее таким системам, где небольшие изменения в настоящем приводят к заметным изменениям в будущем. Представим себе камень на вершине холма. Чуть-чуть подтолкнув его в ту или иную сторону, мы заставим его катиться вниз по совсем разным путям. Но, если камень чувствителен к малым воздействиям только пока он находится на вершине холма, хаотические системы чувствительны к ним в каждой точке своего движения.
Чтобы показать, насколько чутко реагируют некоторые физические системы на внешние воздействия, приведём простой пример. Представим себе несколько идеализированный бильярд, в котором шары катятся по столу и сталкиваются между собой так, что потерями энергии можно пренебречь. Игрок делает один удар, и начинается длинная серия столкновений; естественно, он хочет знать, что последует за его ударом. На какой срок может игрок, в совершенстве контролирующий свой удар, предсказать траекторию шара, который он толкнул своим кием? Если он пренебрежёт даже столь малым воздействием, как гравитационное притяжение электрона на краю галактики, прогноз окажется неверным уже через одну минуту!
Быстрый рост неопределённости объясняется тем, что шары не идеальны, и небольшие отклонения от идеальной траектории в точке удара с каждым новым столкновением увеличиваются. Рост происходит экспоненциально подобно тому, как размножаются бактерии в условиях неограниченного пространства и запаса пищи. С каждым новым столкновением ошибки накапливаются, и любое даже самое малое воздействие быстро достигает макроскопических размеров. Это одно из основных свойств хаоса1.
Экспоненциальное накопление ошибок, свойственное хаотической динамике, стало вторым камнем преткновения для лапласова детерминизма. Квантовая механика установила, что начальные измерения всегда неопределённы, а хаос гарантирует, что эти неопределённости быстро превысят пределы предсказуемости. Не будь хаоса, Лаплас мог бы тешиться надеждой, что ошибки останутся ограниченными или хотя бы будут расти достаточно медленно, позволяя делать долгосрочный прогноз. При наличии хаоса достоверность прогнозов быстро падает.
Понятие хаоса относится к так называемой теории динамических систем. Динамическая система состоит из двух частей: понятия состояния (существенной информации о системе) и динамики (правила, описывающего эволюцию системы во времени). Эволюцию можно наблюдать в пространстве состояний, или фазовом пространстве, — абстрактном пространстве, в котором координатами служат компоненты состояния. При этом координаты выбираются в зависимости от контекста. В случае механической системы это могут быть положение и скорость, в случае экологической модели — популяции различных биологических видов.
Хороший пример динамической системы — простой маятник. Его движение задаётся всего двумя переменными: положением и скоростью. Таким образом, его состояние — это точка на плоскости, координаты которой — положение маятника и его скорость. Эволюция состояния описывается правилом, которое выводится из законов Ньютона и выражается математически в виде дифференциального уравнения. Когда маятник качается взад-вперёд, его состояние — точка на плоскости — движется по некоторой траектории («орбите»). В идеальном случае маятника без трения орбита представляет собой петлю; при наличии трения орбита закручивается по спирали к некоторой точке, соответствующей остановке маятника.
Динамическая система может развиваться либо в непрерывном времени, либо в дискретном времени. Первая называется потоком, вторая — отображением (иногда каскадом). Маятник непрерывно движется от одного положения к другому и, следовательно, описывается динамической системой с непрерывным временем, т.е. потоком. Число насекомых, рождающихся каждый год в определённом ареале, или промежуток времени между каплями из подтекающего водопроводного крана более естественно описывать системой с дискретным временем, т.е. отображением.
Чтобы узнать, как развивается система из заданного начального состояния, нужно совершить бесконечно малое продвижение по орбите, а для этого можно воспользоваться динамикой (уравнениями движения). При таком методе объём вычислительной работы пропорционален времени, в течение которого мы хотим двигаться по орбите. Для простых систем типа маятника без трения может оказаться, что уравнения движения допускают решение в замкнутой форме, т.е. существует формула, выражающая любое будущее состояние через начальное состояние. Такое решение даёт «путь напрямик», т.е. более простой алгоритм, в котором для предсказания будущего используется только начальное состояние и окончательное время и который не требует прохода через все промежуточные состояния. В таком случае объём работы, затрачиваемой на прослеживание движения системы, почти не зависит от конечного значения времени. Так, если заданы уравнения движения планет и Луны, а также положения и скорости Земли и Луны, то можно, например, на много лет вперёд предсказать затмения.
Благодаря успешному нахождению решений в замкнутой форме для многих разнообразных простых систем на ранних стадиях развития физики появилась надежда, что для всякой механической системы существует такое решение. Теперь известно, что это, вообще говоря, не так. Непредсказуемое поведение хаотических динамических систем нельзя описать решением в замкнутой форме. Значит, при установлении их поведения у нас нет никакого «пути напрямик».